makalah elips dan travesium

MAKALAH GEOMETRI DATAR

“ELIPS dan TRAPESIUM”

Disusun oleh:

KELOMPOK 6

Ai Nurhasanah            20148300230

Jejen Gojali                 20148300215

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

STKIP KUSUMA NEGARA

JAKARTA

2015

Jl. Raya Bogor Km. 24, Cijantung, Jakarta-Indonesia, Telp. (62-21) 87791773,

Fax (62-21) 877917

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penyusun panjatkan kepada  Allah SWT, berkat limpahan rahmat, kemudahan, dan karunia-Nya, sehingga Makalah Geometri Datar yang berjudul “ ELIPS dan TRAPESIUM ” ini dapat penyusun selesaikan sebagai bahan untuk sumber belajar di dalam kelas.

Makalah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Datar. Dalam makalah ini berisi tentang cirri-ciri atau sifat-sifat bangun datar elips dan trapesium, rumus beserta contoh soal dan penyelesaiannya.

Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih banyak kekurangan. Maka dari itu, penyusun minta kritik dan sarannya yang bersifat membangun untuk ke arah yang lebih baik lagi ke depannya.

Akhirnya, penyusun menyampaikan banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu penyusunan makalah ini mohon maaf tidak bisa disebutkan satu persatu.

Jakarta,     22  Agustus  2015

Penyusun

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR                  .......................................................................... 2

DAFTAR ISI                                  .......................................................................... 3

BAB 1 PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang                           .......................................................................... 4

B.     Rumusan Masalah                      .......................................................................... 4

C.     Tujuan Penyusunan                    .......................................................................... 4

D.    Manfaat Penyusunan                 .......................................................................... 4

E.     Metode Penyusunan                  .......................................................................... 4

BAB 2 PEMBAHASAN

A.    Elips                                           .......................................................................... 5

B.     Trapesium                                   .......................................................................... 13

BAB 3 PENUTUP

A.    Kesimpulan                                .......................................................................... 23

B.     Saran                                          .......................................................................... 23

REFERENSI                                  .......................................................................... 24

BAB 1

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

      Dalam kehidupan kita tidak terlepas dari ilmu matematika, dalam matemtika tidak hanya mempelajari tentang berhitung saja. Tetapi juga mempelajari tentang bangaun datar. Bangun datar sangat banyak jenis nya. Disini kelompok saya akan menjelaskan lebih rinci tentang elips, trapesium dan sifat-sifat nya.

B.     Rumusan Masalah

      Dari latar belakang di atas, dapat disimpulkan rumusan sebagai berikut:

1.      Apa yang dimaksud elips dan trapesium?

C.    Tujuan Penyusunan

      Adapun tujuan dari penyusunan makalah tersebut:

1.      Untuk memenuhi tugas geometri datar.

2.      Untuk mengetahui elips dan trapesium.

 

D.    Manfaat Penyusunan

      Adapun manfaat dari penyusunan makalah tersebut, yaitu:

1.      Agar dapat memenuhi tugas geometri datar.

2.      Agar dapat mengetahui elips dan trapesium.

E.     Metode Penyusunan

      Dalam penyusunan makalah ini, penyusun menggunakan studi literature dari beberapa buku dan internet. Studi literature adalah metode penyusunan yang sumbernya dari buku dan bacaan lainnya atau bisa juga disebut telaah buku.

BAB 2

PEMBAHASAN

A.    ELIPS

1.      Pengertian Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya sama terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu tersebut adalah titik fokus.

         Perhatikan gambar, F₁ dan F₂ adalah fokus. Meskipun P dipindah-pindah, selagi berada di ellips maka PF₁ + PF₂ selalu konstan.
Elips ini erat kaitannya dengan hukum-hukum yang ada di dalam fisika astronomi. Bahwasanya lintasan planet-planet berbentuk elips, dan matahari berada pada salah satu titik fokusnya

         Elips memilki nilai eksentrisitas  0<e<1 ,memiliki 2 puncak (A dan A’) yang terletak pada sumbu mayornya.

         Untuk memudahkan membayangkan cara menggambar elips dan mentukan persamaannya adalah dengan gambar berikut

         Pasang 2 buah paku pada jarak tertentu (jadikan sebagai fokus), ikatkan seutas benang yang panjangnya lebih besar dari jarak kedua pake tersebut. Kemudian buat gambar dengan pinsil pada kondisi di atas, dimana benang selalu dalam kondisi tegang (lurus). Jadi dapat disimpulkan bahwa elips adalah kumpulan titik yang jumlah jarak dengan kedua titik tetap (fokus) (d1 + d2) adalah sama.

         Sekarang mari kita tentukan persamaannya saat titik P (x,y) berada segaris dengan fokus-fokus nya

         Maka jumlah panjang d1 + d2 adalah => (c + a) + (a – c) = 2a

         Maka persamaannya dapat dengan mudah diperoleh jika menggunakan titip P tepat di puncak sumbu minornya yaitu titik (0,b)

         Jika c² + b² = a², maka penyederhanaan selanjutnya menghasilkan

Jadi bentuk elip bisa dua macam, tergantung posisi sumbu mayor dan minornya.

2.      Persamaan Elips

Sebelum membahas mengenai persamaan elips, mari kita ingat-ingat kembali persamaan dari suatu lingkaran. Lingkaran yang memiliki titik pusat di titik (a, b) dan berjari-jari r memiliki persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Dengan membagi kedua ruas persamaan tersebut dengan r2, kita akan memperoleh.

Pada persamaan yang terakhir, nilai r pada masing-masing penyebut secara berturut-turut merupakan jarak vertikal dan horizontal dari titik pusat ke grafik. Lalu mungkin kita akan bertanya, bagaimana jika nilai dari penyebut-penyebut tersebut berbeda? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan persamaan berikut.

Pusat dari grafik persamaan di atas tetaplah (3, –2), karena a = 3 dan b = –2. Dengan mensubtitusiy = –2, kita dapat menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan tersebut.

Hasil di atas, menunjukkan bahwa jarak horizontal titik pusat terhadap grafik adalah 4 satuan, yaitu jarak titik pusat (3, –2) terhadap titik-titik (–1, –2) dan (7, –2). Dengan cara yang serupa, untuk x = 3 kita akan mendapatkan (y + 2)2 = 9, sehingga diperoleh y = –5 dan y = 1. Hal ini menunjukkan bahwa jarak vertikal titik pusat terhadap grafik adalah 3, yaitu jarak titik (3, –2) terhadap titik-titik (3, –5) dan (3, 1). Sehingga, dengan mengganti penyebut-penyebut yang tidak sama pada suatu persamaan lingkaran, kita akan mendapatkan suatu grafik memanjang dari lingkaran. Grafik seperti ini merupakan grafik dari suatu elips.

           Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncakelips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.

-          Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2p, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q.

-          Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu-y) dengan panjang 2q, dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p.

Dari pengamatan kita di atas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut.

Bentuk Standar dari Persamaan Elips
Diberikan persamaan,

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengan titik pusat (a, b). Nilai |p| merupakan jarak horizontal titik pusat dengan grafik, sedangkan |q| merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

3.      Luas dan keliling Elips

Rumus keliling

Rumus luas

4.      Contoh soal Elips

Soal 1

Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan ellips

4x² + 9y² +16x - 18y - 11 = 0

Penyelesaian :

4x²+9y²+16x-18y-11=0

4x²+16x+9y²-18y-11=0

4(x²+4x)+9(y²-2y)-11=0

4(x²+4x+4)+9(y²-2y+1)=11+16+9

4(x+2)2+9(y-1)2=36

       

Pusat elips (-2,1)

Jari-jari panjang a2 = 9, maka a = √9 = 3

Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2

Soal 2

Diketahui ellips dengan persamaan

Carilah puncak, focus, dan titik-titik ujung sumbu minor. Gambarlah sketsa ellips, dan perhatikanlah kedua fokusnya.

           

            Jawab:

Dari persamaan ellips, a² = 25 dan b² = 16; jadi a = 5 dan b = 4. Karena itu puncak ellips adalah V(5,0) dan V¹(-5,0) dan titik-titik ujung sumbu minor adalah titik-titik B(0,4) dan B¹(0,-4). Dari (7),

c² = a² – b²

jadi, c² = 25 – 26

                        = 9

Karena itu c = 3 dan fokusnya adalah F(3,0) dan F(-3,0). Sketsa ellips dan fokusnya terlihat dalam gambar

Soal 3

Suatu kelengkungan berbentuk setengah ellips dengan lebar alas 48 kaki dan tinggi 20 kaki. Berapa lebar lengkungan itu pada ketinggian 10 kaki dari alas?

Jawab:

Gambar diatas memperllihatkan sketsa lengkungan dan sumbu-sumbu koordinat dipilih sedemikian rupa sehingga sumbu x terletak pada alas dan titik asal adalah titik tengah alas. Maka sumbu utama ellips terletak sepanjang sumbu x, pusatnya di titik asal, a = 24 dan b = 20. Persamaan ellips berbentuk

Misalkan 2x adalah lebar lengkungan pada ketinggian 10 kaki dari alas. Karena itu (x,10) terletak pada ellips, jadi

Dengan demikian pada ketinggian 10 kaki dari alas, lebar lengkungan adalah 24 akar3 kaki.

Jika suatu ellips mempunyai pusat di titik asal dan sumbu utama pada sumbu y, maka persamaan ellips berbentuk

B.     TRAPESIUM

1.      Pengertian Trapesium

Trapesium adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.

Segiempat PQRS adalah trapesium, PQ dan SR disebut alas trapesium, PQ dan SR sejajar. PS dan QR disebut kaki-kaki trapesium.

2.      Jenis-Jenis Trapesium

Trapesium dibagi menjadi tiga jenis, yaitu :

1.      Trapesium sembarang merupakan trapesium yang keempat rusuknya tidak sama panjang. Trapesium jenis ini tidak memiliki simetri lipat dan memiliki hanya satu simetri putar.

2.      Trapesium sama kaki merupakan trapesium yang memiliki sepasang rusuk yang sama panjang dan sepasang rusuk yang sejajar. Trapesium jenis ini memiliki satu buah simetri lipat dan dua buah simetri putar.

3.      Trapesium siku-siku merupakan trapesium dimana dua dari keempat sudutnya merupakan sudut siku-siku. Rusuk-rusuk sejajar yang dimiliki trapesium ini tegak lurus dengan tinggi trapesium.

3.      Sifat-Sifat Trapesium

Secara umum sifat trapesium adalah memiliki dua sisi yang sejajar. Sifat-sifat trapesium yang lain adalah sebagai berikut.

a.       Terdapat dua Pasang Sudut Berdekatan yang Jumlahnya 180°

Coba perhatikan trapesium ABCD pada Gambar dibawah ini. Jika kita perpanjang garis AD, maka ∠A dan ∠D adalah sudut-sudut dalam sepihak karena AB // DC. Dengan demikian, ∠A + ∠D = 180°, begitu juga ∠B + ∠C = 180°. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.

Sifat Pada trapesium sama kaki terdapat dua pasang sudut berdekatan yang jumlahnya 180°

Trapesium ABCD dengan ∠A + ∠D = 180° dan ∠B + ∠C = 180°

b.      Sifat Pada Trapesium Sama Kaki Sepasang-sepasang Sudutnya Sama Besar

Perhatikanlah segitiga sama kaki ADE pada Gambar dibawah ini, diketahui bahwa ∠DAE = ∠AED. Oleh karena ∠AED dan ∠EBC sehadap, maka ∠EBC = ∠AED, dan ∠DAB = ∠ABC.

(a) Trapesium ABCD sama kaki, (b) trapesium ABCD sama kaki dengan ∠A = ∠B dan ∠C = ∠D

Dari sifat (a) bahwa:
∠A + ∠D = 180° dan ∠D = 180° – ∠A
∠B + ∠C = 180° dan ∠C = 180° – ∠B
∠A = ∠B

Oleh karena ∠A = ∠B, maka:
∠D = 180° – ∠A
∠C = 180° – ∠A
∠D = ∠C

Pada trapesium sama kaki sepasang-sepasang sudutnya sama besar

c.       Sifat Pada Trapesium Sama Kaki Jumlah Sudut-sudut yang Berhadapan 180°

Perhatikan trapesium ABCD pada Gambar diatas.
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

Dari sifat (b) kita tahu bahwa ∠A = ∠B dan ∠C = ∠D sehingga:
∠A + ∠A + ∠C + ∠C = 360°
2(∠A + ∠C) = 360°
∠A + ∠C = 180°

Pada trapesium sama kaki jumlah sudut-sudut yang berhadapan 180°

d.      Sifat Pada Trapesium Sama Kaki Diagonal-diagonalnya Sama Panjang

Pada Gambar dibawah ini, ABCD merupakan trapesium sama kaki dengan AD = BC. Oleh karena itu, panjang diagonal AC sama dengan panjang diagonal BD. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan rumus Pythagoras.

Trapesium ABCD sama kaki dengan AC = BD

Pada trapesium sama kaki diagonal-diagonalnya sama panjang

4.      Rumus dan Contoh Soal Trapesium

Untuk menghitung luas dan keliling trapesium kita gunakan rumus sebagai berikut.

Luas Trapesium =   Jumlah sisi sejajar x tinggi
                                                2

                           =  (AB + CD) x DE             (perhatikan gambar)

Keliling Trapesium = AB + BC + CD +DA   ( perhatikan gambar )

          contoh soal

Soal 1

Perbandingan panjang sisi sejajar pada sebuah trapesium sama kaki adalah 1 : 4. Diketahui besar sudut pada salah kaki trapesium adalah 60°, panjang kaki trapesium = 10 cm, tinggi = 8 cm, dan luasnya 80 cm². Tentukan

a. besar sudut yang belum diketahui;

b. panjang sisi-sisi yang sejajar;

c. keliling trapesium.

Penyelesaian:

Berdasarkan soal no 2 jika digambarkan akan terlihat seperti gambar berikut.

a. Berdasarkan gambar di atas kita akan mencari sudut-sudut yang belum diketahui

∠CBF = ∠DAE = 60°

∠ADE = ∠BCF = 180° - ∠DAE - 90°

∠ADE = ∠BCF = 180° - 60° - 90°

∠ADE = ∠BCF = 30°

∠ADC = ∠BCF = 90° + ∠ADE

∠ADC = ∠BCF = 90° + 30°

∠ADC = ∠BCF = 120°

b. Untuk mencari panjang sisi-sisi yang yang sejajar dapat digunakan rumus luas segitiga dan persegi panjang, tetapi sebelum itu kita harus mencari panjang AE dengan rumus phytagoras:

AE = √(AD² – DE²)

AE = √(10² – 8²)

AE = √(100 – 64)

AE = √36

AE =6 cm

Luas total = 2 x Luas ΔADE + Luas CDEF

Luas CDEF = Luas total - 2 x Luas ΔADE

Luas CDEF = 80 cm²- 2 x ½ x AE x DE

Luas CDEF = 80 cm²- 2 x ½ x 6 cm x 8 cm

Luas CDEF = 80 cm²- 48 cm²

Luas CDEF = 32 cm²

sekarang akan cari panjang EF = CD yaitu

Luas CDEF = CD x DE

32 cm² = DC x 8 cm

CD = 4 cm

Panjang AB = AE + EF + BF

Panjang AB = 6 cm+ 4 cm + 6 cm

Panjang AB = 16 cm

c. Keliling trapesium dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi trapesium tersebut.

Keliling = 2 x AD + AB + CD

Keliling = 2 x 10 cm + 16 cm + 4 cm

Keliling = 40 cm

Soal 2

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas diketahui trapesium PQRS sama kaki dengan PS = QR, PQ = 48 cm, SR = 26 cm, dan∠SPM = ∠RQN = 45°. Tentukan

a. besar ∠MSP dan ∠RNQ,

b. panjang MN,

c. panjang PM, QN, dan t,

d. luas PQRS.

Penyelesaian:

a. besar ∠MSP dan ∠RNQ adalah:

∠MSP = 180° - ∠PMS - ∠MPS

∠MSP = 180° - 90° - 45°

∠MSP = 45°

∠RNQ = ∠PMS = 90°

Jadi besar ∠MSP dan ∠RNQ adalah 45° dan 90°

b. panjang MN = SR = 26 cm

c. panjang PM, QN, dan t, adalah sebagai berikut.

PM = QN

PM = PQ – MN – QN

PM = 48 cm – 26 cm –PM

2PM = 22 cm

PM = 22 cm/2

PM = QN = t = 11 cm

d. Luas trapsesium PQRS adalah:

luas PQRS = ½ x (PQ+SR) x t

luas PQRS = ½ x (48 cm + 26 cm) x 11 cm

luas PQRS = 407 cm²

Soal 3

Sebuah trapesium, panjang sisi-sisi sejajar adalah 12 cm dan 8 cm serta tinggi 5 cm. Hitunglah luas trapesium tersebut.

Penyelesaian:

Luas = ½ x (a1 + a2) x t

Luas = ½ x (12 cm + 8 cm) x 5 cm

Luas = 50 cm²

BAB 3

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa:

Trapesium merupakan bangun datar yang memiliki sisi sejajar dan ada tiga jenis trapesium, yaitu: trapesium sama kaki, sama sisi serta sembarang. Dan elips adalah lingkaran yang berbentuk oval.

B.     Saran

Dalam pembelajaran di dalam kelas seharusnya untuk materi seperti ini menggunakan metode menjelaskan secara manual agar siswa/mahasiswa dapat mengerti proses dalam mengerjakan soal. Karena kalau secara persentasi terlalu banyak kendala.

Perlu adanya sumber-sumber yang mendukung dan harus punya analisa tajam untuk menyelesaikan penerapan materi ini terutama materi elips.

REFERENSI

www.matematikaria.com/geometri/ellipse.html

www.wordpress.com

www.academi.edu

buku kalkulus dan geometri analitik jilid 5

aplikasi rumus matematika

Adinawan, M.Cholik. matematika untuk SMP Kelas VII Semester 2. Jakarta Erlangga
            2007.