GEOMETRI TRANFORMASI “TRANFORMASI INVERS DAN KOMPOSISI TRANFORMASI” Disusun Oleh: Kelompok III Ai Nurhasanah 20148300230 Nia Risnawati A 20148300281 Suranti 20148300284 Haya Mutiara 20148300285 Yane Oktaviani 20148300294 Muthia Agustin S 20148300295 Eva Erviana 20148300297 Siti Latifah 20148300298 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN KUSUMA NEGARA JAKARTA 2016 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penyusun panjatkan kepada Allah SWT, berkat limpahan rahmat, kemudahan, dan karunia-Nya, sehingga makalah Geometri Tranformasi yang berjudul tentang “TRANFORMASI INVERS DAN KOMPOSISI TRANFORMASI” ini dapat penyusun selesaikan tepat pada waktunya tanpa menemui hambatan yang berarti. Makalah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Tranformasi. Dalam tulisan ini berisi tentang pengertian tranformasi invers dan contohnya, menentukan dan menggambarkan bayangan suatu kurva oleh suatu tranformasi invers, komposisi 2 tranformasi dengan menyebutkan cirri-cirinya, menentukan dua translasi berurutan, menentukan koordinat bayangan dan menggambarkan 2 pencerminan berurutan terhadap 2 sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y. Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih terdapat banyak kekurangan. Maka dari itu, penyusun minta kritik dan sarannya yang bersifat membangun untuk ke arah yang lebih baik lagi ke depannya. Akhirnya, penyusun menyampaikan banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu penyusunan tugas ini mohon maaf tidak bisa disebutkan satu persatu. Terutama penyusun sampai terimakasih banyak kepada bu dosen yang telah memeberikan tugas ini. Mudah-mudahan makalah ini bermanfaat untuk pembaca terutama untuk penyusun. Jakarta, 8 Agustus 2016 Penyusun DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR 2 DAFAR ISI 3 BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang 4 Rumusan Masalah 5 Tujuan Penyusunan 5 BAB 2 PEMBAHASAN Tranformasi Invers 6 Komposisi Tranformasi 8 BAB 3 PENUTUP Kesimpulan 14 Saran 14 DAFTAR PUSTAKA 15 BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi ”. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri merupakan dasar perkembangan ilmu matematika modern dan menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Geometri merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Geometri tranformasi secara umum adalah geometri datar yang diartikan sebagai pindaan apa yang dipindahkan. Dalam geometri tranformasi ada empat hal pokok bahasan yaitu: pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi), perputaran (rotasi), perkalian (dilatasi).. Sejak zaman Euclid ( 300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektif syntesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam matematika dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan efek yang bersifat revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri. Fermat ( 1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 – 1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada gwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan, mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teorei yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri Transformasi. Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titik-titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunan-himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang bersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai diterapkan pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada. Geometri Transformasi menawarkan pandangan yang dalam terhadap hakekat dari banyak topic tradisional, termasuk kongruensi, kesebangunan, dan symetri. Geometri transformasi juga berfungsi sebagai basis bagi banyak aplikasi kontemporer dalam seni, arsitek, engenering, film dan televisi.Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix Klein memberi definisi tentang suatu geometri: “Suatu geometry adalah suatu studi tentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamana element-elemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi ini menetapkan geometri transformasi sebagai suatu cara memahami hubungan-hubungan diantara semua geometri, Euclid dan non Euclid. Secara matematika geometri tranformasi diartikan sebagai fungsi bijektif pada bidang. Masih ingatkah dengan fungsi? Maka darii tu untuk mengingat kembali tentang fungsi penyusun membuat makalah berjudul “TRANFORMASI INVERS DAN KOMPOSISI TRANFORMASI (KOMPOSISI DUA REFLEKSI)”. Semogo tulisan ini bermanfaat untuk kita semua. Rumusan Masalah Adapun masalah yang akan penyususn kaji dalam makalah ini adalah sebagai berikut: Apa pengertian tranformasi invers? Bagaimana cara menentukan dan menggambarkan bayangan suatu kurva oleh suatu tranformasi invers? Apa komposisi tranformasi? Bagaimana cara menentukan dua translasi berurutan? Bagaimana cara menentukan koordinat bayangan dan menggambarkan 2 pencerminan berurutan terhadap 2 sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y? Tujuan Penyusunan Adapun tujuan dari penyususnan makalah ini adalah untuk mengetahui: Pengertian tranformasi invers dan contohnya. Menentukan dan menggambarkan bayangan suatu kurva oleh suatu tranformasi invers. Komposisi 2 tranformasi dengan menyebutkan ciri-cirinya. Menentukan dua translasi beurutan. Menentukan koordinat bayangan dan menggambarkan 2 pencerminan berurutan terhadap 2 sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y. BAB 2 PEMBAHASAN Tranformasi Invers Pengertian tranformasi invers Transformasi invers adalah salah satu cara sederahana untuk mendapatkan koordinat bayangan hasil transformasi. Transformasi invers digunakan untuk mencari transformasi tempat kedudukan Contoh. Carilah bayangan dari garis x+3y+2=0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks ((2 3)¦(1 2)). Penyelesaian: Penyelesaian menggunakan transformasi invers akan langsung mendapatkan bentuk balikan yang harus disubstitusi. invers matriks ((2 3)¦(1 2)) adalah ((2 -3)¦(-1 2)). (( 2 -3)¦(-1 2))(x^'¦y^' )=((2 -3)¦(-1 2))((2 3)¦(1 2))(x¦y) ((2x^'-3x^')¦(-y'+2y'))=(█((2 -3)[■(2@1)] ■( &(2 -3))[■(3@2)]@(-1 2)[■(2@1)] (-1 2)[■(3@2)] ))(x¦y) ((2x^'-3x^')¦(-y'+2y'))= (■(2.2+ -3.1&2.3-3.2@-1.2+2.1&-1.3+2.2))(x¦y) ((2x^'-3x^')¦(-y'+2y'))=(■(4-3&6-6@-2+2&-3+4))(x¦y) ((2x^'-3x^')¦(-y^'+2y^' ))=(■(1&0@0&1))(x¦y) ((2x^'-3x^')¦(-y'+2y'))=(x¦y) Selanjutnya tinggal langsung disubstitusi ke persamaan garis x+3y+2=0. (2x’-3y’)+3(-x’+2y’)+2=0 2x’-3y’-3x’+6y’+2=0 2x’-3x’-3y’+6y’+2=0 -x’+3y’+2=0 Jadi, bayangan dari garis x+3y+2=0 adalah –x’+3y’+2=0 Tranformasi tempat kedudukan Yang dimaksud tranformasi tempat kedudukan dalam hal ini yaitu himpunan titik-titik yang mempunyai pola tertentu. Seperti garis dan kurva. Tranformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu tranformasi (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi) dilakukan dengan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ sesuai dengan tranformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan berupa persamaan yang menggunakan variabel x’ dan y’ sebagai tanda hasil tranformasinya. Contoh. Tentukan persamaan bayangan parabola y = 4x2, jika mendapat tranformasi yang berkaitan dengan matriks berikut. (■(1&0@0&-1)). Jawab: Jika (a,b) terletak pada parabola y = 4x2, maka berlaku b = 4a2. Jika (a’,b’) bayanga dari (a,b) maka: [■(a'@b')]=[■(1&0@0&-1)][■(a@b)] [■(a'@b')]=[■(a@-b)] atau a = a’ b = - b’ Jika kita substitusikan ke persamaan b = 4a2. Maka: -b’ = 4(a’)2 atau b’ = - 4(a’)2. Jadi, persamaan bayangannya dalah y = - 4x2. Komposisi Tranformasi Pengertian komposisi tranformasi Komposisi tranformasi adalah tranformasi yang diperoleh dari gabungan dua tranformasi atau lebih. Penyelesaian komposisi transformasi bisa dengan dua cara yaitu yang pertama dengan cara pemetaan dilakukan langsung secara bertahap berturut-turut terhadap titik yang ditransformasikan dan cara kedua yaitu dengan matriks. Penyelesaian komposisi tranformasi dengan cara pemetaan. Penyelesaian komposisi transformasi dengan cara pemetaan dilakukan langsung secara bertahap berturut-turut terhadap titik yang ditransformasikan. Misal titik A ditransformasikan pertama oleh T1 dilanjutkan oleh T2, bayangannya diperoleh dengan cara mencari bayangan A terhadap T1 terlebih dahulu, misalkan bayangannya adalah A', kemudian mencari bayangan A' oleh transformasi T2sehingga menghasilkan bayangan A". Titik A" ini merupakan bayangan dari titik A yang ditransformasikan oleh T1 dilanjutkan dengan transformasi T2. Dalam bentuk pemetaan ditulis seperti berikut ini. Penyelesaian komposisi tranformasi dengan cara matrik. Titik P (x, y) ditransformasikan oleh T1 dan kemudian dilanjutkan oleh T2, maka menghasilkan P" (x", y"). Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut : P"=(T2 o T1)(P) (■(x"@y"))=(■(e&f@g&h))(■(a&c@b&d))(■(x@y)) Dua translasi berurutan Diketahui suatu titik mendapat translasi T1, kemudian dilanjutkan dengan translasi T2, makla dua translasi tersebut dapat dinyatakan dengan tranformasi tunggal dan di tulis dengan notasi “T2 ° T1”. Titik P(x,y) mendapat tranformasi berurutan T1 = [■(a@b)] dan T2 = [■(c@d)] . Titik P(x,y) P’(x + a, y + b). Titik P’(x + a, y + b) P”(x + a + c, y + b + d). Bila diperhatikan T2 ° T1 yang memetakan titik P ke titik P”, maka pemetaan tersebuat dapat kita nyatakan sebagai berikut. Titik P’(x + a, y + b) P”(x +( a + c), y + (b + d)). Jadi, rumus untuk komposisi tranformasi dua translasi berurutan “T2 ° T1” adalah: T2 ° T1=[■(a&c@b&d)] Contoh. Tentukan bayangan titik (4,6) oleh translasi T1 = [■(7@3)] dan dilanjutkan oleh translasi T2 = [■(3@4)]. Jawab: T2 ° T1=[■(a&c@b&d)] =[■(7&3@3&4)] =[■(10@7)] Maka: (4,6) (4 + 10, 6 + 7) = ( 14, 13) Jadi bayangan titik (4,6) oleh translasi T1, dilanjutkan T2 adalah (14,13). Tentukan bayangan dari persamaan x2+2y=4 oleh translasi T1=(■(3@4)) dilanjutkan translasi T2= (■(1@3)). Jawab. T2 ° T1=[■(a&c@b&d)] =[■(3&1@4&3)] =[■(4@7)] x’ = x – 4 → x = x’ + 4……. (1) y’ = y – 7 → y = y’ + 7……..(2) Substitusikan ke persamaan x2+2y=4 (x’+4)2 + 2 (y’+7) = 4 (x’+4)(x’+4)+2y’+14=4 x’2 + 8y’ + 16 +14 =4 x’2 + 8y’= - 26 Jadi, bayangan dari persamaan x2+2y=4 adalah x’2 + 8y’= - 26 Tiga translasi berurutan Untuk tiga translasi berurutan berlaku (T1 o T 2 ) o T3 = T1 o ( T 2 o T 3 ) (asosiatif). Adapun rumus yang digunakan. (T1 o T 2 ) o T3 = T1 o ( T 2 o T 3 ) =[■(a&c&e@b&d&f)] Contoh. Tentukan bayangan titik (2,3) oleh translasi T1 = [■(1@6)] dilanjutkan oleh translasi T2 = [■(3@2)] dan T3 = [■(4@2)]. Jawab. T1 o ( T 2 o T 3 ) =[■(a&c&e@b&d&f)] =[■(1&3&4@6&2&2)] =[■(1&7@6&4)] =[■(8@10)] Maka: (2,3) (2+8, 3+10) = ( 10, 13) Jadi bayangan titik (2,3) oleh translasi T1, dilanjutkan T2 dan T3 adalah (10,13). Dua refleksi terhadap dua garis sejajar Titik P(x,y) pada gambar di samping direfleksikan oleh M1 terhadap garis h, kemudian dilanjutkan dengan refleksi M2 terhadap garis k yang sejajar dengan h. letak bayangannya dapat kita tentukan sebagai berikut. Titik P’ merupakan bayangan titik P oleh M1, dan P” merupakan bayangan oleh P’ oleh M2, maka: PA = P’A = a dan P’B = P”B = b Sehingga PP” = 2a + 2b = 2 (a + b). Mengingat (a + b) = ( k – h ) adalah jarak antara garis h dan k, maka jarak titik PP” sama dengan dua kali jarak h dan k. Bayangan titik P(x,y) oleh refleksi terhadap dua garis x=h dan x=k yang saling sejajar serta berjarak d adalah (x + 2d, y ) dimana d = k – h. Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bayangan titik P(x,y) oleh refleksi terhadap dua garis y=h dan y = k yang saling sejajar serta berjarak d. bayangan titik itu adalah (x, y +2d) dimana d = k- h. Contoh. Tentukan bayangan titik P(3,4) oleh refleksi terhadap garis x = 5 dan dilanjutkan terhadap garis x = -1. Jawab: P2 (x,y) → ( x + 2d , y) (3,4) → (3 + 2 ( -1 – 5 ) , 4 ) = ( 3 + 2 (-6) , 4) = (3 – 12 , 4) = ( -9 , 4 ) P1 (x,y) → ( x + h , y) (3,4) → (3 + 5 , 4) = ( 8, 4) Tentukan bayangan titik A ( -5, 7) oleh refleksi terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan terhadap garis y = - 2. Jawab: A2 (x,y) → ( x , y + 2d) (-5,7) → (-5 , 7 + 2 ( -2 -3)) = ( -5, 7 + 2 (-5)) = (-5, 7 -10) = ( -5 , -3) A1 (x,y) → ( x , y + h) (-5, 7) → (-5, 7 + 3) = ( -5, 10) BAB 3 PENUTUP Kesimpulan Adapun kesimpulan dari makalah ini adalah sebagai berikut: Komposisi invers adalah salah satu cara sederahana untuk mendapatkan koordinat bayangan hasil transformasi. Komposisi tranformasi adalah tranformasi yang diperoleh dari gabungan dua tranformasi atau lebih. Komposisi tranformasi bisa diselesaikan dengan dua cara yaitu pemetaan dan matrik. Komposisi dua translasi berurutan menggunakan sifat komutatif dan rumus yang digunakan T2 ° T1=[■(a&c@b&d)]. Komposisi tiga translasi berurutan menggunakan sifat asosiatif dan rumus yang digunakan T1 o T 2 ) o T3 = T1 o ( T 2 o T 3 ) =[■(a&c&e@b&d&f)] Komposisi dua refleksi terhadap dua garis sejajar, berlaku: Bayangan titik P(x,y) oleh refleksi terhadap dua garis x=h dan x=k yang saling sejajar serta berjarak d adalah (x + 2d, y ) dimana d = k – h. Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bayangan titik P(x,y) oleh refleksi terhadap dua garis y=h dan y = k yang saling sejajar serta berjarak d. bayangan titik itu adalah (x, y +2d) dimana d = k- h. Saran Dalam memahami pembelajaran geometri tranformasi kita harus jeli dan paham dulu pengertiannya, rumusnya baru contoh soalnya seperti apa dan jangan lupa kaitkan dalam aplikasi kehidupan sehari-sehari biar kita ingat selalu akan materi tersebut. Dan hal yang utama adalah perbanyak latihan soal dan memperbanyak referensi bacaan. DAFTAR PUSTAKA https://elnicovengeance.wordpress.com/2013/01/19/komposisi-transformasi/ http://alewoh.com/komposisi-transformasi.php K. Noormandiri. Matematika untuk SMA kelas XII Program Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga, 2007.