CARA MEMBUAT VOLUME KERUCUT DI SMALL BASIC

MICROSOFT SMALL BASIC

“KERUCUT”

Disusun Oleh:

Kelompok VIII

Ai Nurhasanah            20148300230

Juma Dian Dini           20148300043

Siti Aminah                 20148300204

Suranti                         20148300284

Tri Wahyuni                20148300412

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

KUSUMA NEGARA JAKARTA

2016

TRANFORMASI INVERS DAN KOMPOSISI TRANFORMASI

GEOMETRI TRANFORMASI
“TRANFORMASI INVERS DAN KOMPOSISI TRANFORMASI”



Disusun Oleh:
Kelompok III
Ai Nurhasanah 20148300230
Nia Risnawati A 20148300281
Suranti 20148300284
Haya Mutiara 20148300285
Yane Oktaviani 20148300294
Muthia Agustin S 20148300295
Eva Erviana 20148300297
Siti Latifah 20148300298

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
KUSUMA NEGARA JAKARTA
2016
KATA PENGANTAR


Puji dan syukur penyusun panjatkan kepada  Allah SWT, berkat limpahan rahmat, kemudahan, dan karunia-Nya, sehingga makalah Geometri Tranformasi yang berjudul tentang “TRANFORMASI INVERS DAN KOMPOSISI TRANFORMASI” ini dapat penyusun selesaikan tepat pada waktunya tanpa menemui hambatan yang berarti.
Makalah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Tranformasi. Dalam tulisan ini berisi tentang pengertian tranformasi invers dan contohnya, menentukan dan menggambarkan bayangan suatu kurva oleh suatu tranformasi invers, komposisi 2 tranformasi dengan menyebutkan cirri-cirinya, menentukan dua translasi berurutan, menentukan koordinat bayangan dan menggambarkan 2 pencerminan berurutan terhadap 2 sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.
Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih terdapat banyak kekurangan. Maka dari itu, penyusun minta kritik dan sarannya yang bersifat membangun untuk ke arah yang lebih baik lagi ke depannya.
Akhirnya, penyusun menyampaikan banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu penyusunan tugas ini mohon maaf tidak bisa disebutkan satu persatu. Terutama penyusun sampai terimakasih banyak kepada bu dosen yang telah memeberikan tugas ini. Mudah-mudahan makalah ini bermanfaat untuk pembaca terutama untuk penyusun.

Jakarta,   8 Agustus  2016 

Penyusun




DAFTAR ISI



Halaman
KATA PENGANTAR 2
DAFAR ISI 3
BAB 1 PENDAHULUAN
Latar Belakang 4
Rumusan Masalah 5
Tujuan Penyusunan 5
BAB 2 PEMBAHASAN
Tranformasi Invers 6
Komposisi Tranformasi 8
BAB 3 PENUTUP
Kesimpulan 14
Saran 14
DAFTAR PUSTAKA 15














BAB 1
PENDAHULUAN

Latar Belakang
Kata “ geometri ” berasal dari bahasa Yunani yang berarti “ ukuran bumi ”. Maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi.
Geometri merupakan dasar perkembangan ilmu matematika modern dan  menjadi alat utama untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis.
Geometri merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang.
Geometri tranformasi secara umum adalah geometri datar yang diartikan sebagai pindaan apa yang dipindahkan. Dalam geometri tranformasi ada empat hal pokok bahasan yaitu: pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi), perputaran (rotasi), perkalian (dilatasi).. 
Sejak zaman Euclid ( 300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektif syntesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam matematika dikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan efek yang bersifat revolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri. Fermat ( 1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 – 1650) menciptakan geometri analitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakan notasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan pada gwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan, mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuai dengan teori-teorei yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahli matematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsip pemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubungan-hubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah Geometri Transformasi. 
Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titik-titik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunan-himpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang bersesuaian dinamakan image. Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai diterapkan pada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedra ataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada. 
Geometri Transformasi menawarkan pandangan yang dalam terhadap hakekat dari banyak topic tradisional, termasuk kongruensi, kesebangunan, dan symetri. Geometri transformasi juga berfungsi sebagai basis bagi banyak aplikasi kontemporer dalam seni, arsitek, engenering, film dan televisi.Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix Klein memberi definisi tentang suatu geometri: “Suatu geometry adalah suatu studi tentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamana element-elemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi ini menetapkan geometri transformasi sebagai suatu cara memahami hubungan-hubungan diantara semua geometri, Euclid dan non Euclid. 
Secara matematika geometri tranformasi diartikan sebagai fungsi bijektif pada bidang. Masih ingatkah dengan fungsi? Maka darii tu untuk mengingat kembali tentang fungsi penyusun membuat makalah berjudul “TRANFORMASI INVERS DAN KOMPOSISI TRANFORMASI (KOMPOSISI DUA REFLEKSI)”. Semogo tulisan ini bermanfaat untuk kita semua.

Rumusan Masalah
Adapun masalah yang akan penyususn kaji dalam makalah ini adalah sebagai berikut:
Apa pengertian tranformasi invers?
Bagaimana cara menentukan dan menggambarkan bayangan suatu kurva oleh suatu tranformasi invers?
Apa komposisi tranformasi?
Bagaimana cara menentukan dua translasi berurutan?
Bagaimana cara menentukan koordinat bayangan dan menggambarkan 2 pencerminan berurutan terhadap 2 sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y?

Tujuan Penyusunan
Adapun tujuan dari penyususnan makalah ini adalah untuk mengetahui:
Pengertian tranformasi invers dan contohnya. 
Menentukan dan menggambarkan bayangan suatu kurva oleh suatu tranformasi invers. 
Komposisi 2 tranformasi dengan menyebutkan ciri-cirinya. 
Menentukan dua translasi beurutan.
Menentukan koordinat bayangan dan menggambarkan 2 pencerminan berurutan terhadap 2 sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu x dan terhadap sumbu y.

BAB 2
PEMBAHASAN

Tranformasi Invers
Pengertian tranformasi invers
Transformasi invers adalah salah satu cara sederahana untuk mendapatkan koordinat bayangan hasil transformasi. Transformasi invers digunakan untuk mencari transformasi tempat kedudukan
Contoh.
Carilah bayangan dari garis x+3y+2=0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks  ((2    3)¦(1   2)).
Penyelesaian: 
Penyelesaian menggunakan transformasi invers akan langsung mendapatkan bentuk balikan yang harus disubstitusi.
invers matriks ((2    3)¦(1   2)) adalah ((2       -3)¦(-1       2)).

(( 2       -3)¦(-1       2))(x^'¦y^' )=((2       -3)¦(-1       2))((2    3)¦(1     2))(x¦y)
((2x^'-3y^')¦(-x'+2y'))=(█((2   -3)[■(2@1)]  ■(   &(2    -3))[■(3@2)]@(-1    2)[■(2@1)]          (-1    2)[■(3@2)] ))(x¦y)
((2x^'-3y^')¦(-x'+2y'))= (■(2.2+ -3.1&2.3-3.2@-1.2+2.1&-1.3+2.2))(x¦y)
((2x^'-3y^')¦(-x'+2y'))=(■(4-3&6-6@-2+2&-3+4))(x¦y)
((2x^'-3y^')¦(-x^'+2y^' ))=(■(1&0@0&1))(x¦y)
((2x^'-3y^')¦(-x'+2y'))=(x¦y)

Selanjutnya tinggal langsung disubstitusi ke persamaan garis x+3y+2=0.
(2x’-3y’)+3(-x’+2y’)+2=0
2x’-3y’-3x’+6y’+2=0
2x’-3x’-3y’+6y’+2=0
-x’+3y’+2=0 

Jadi, bayangan dari garis x+3y+2=0 adalah –x’+3y’+2=0


Tranformasi tempat kedudukan
Yang dimaksud tranformasi tempat kedudukan dalam hal ini yaitu himpunan titik-titik yang mempunyai pola tertentu. Seperti garis dan kurva. Tranformasi terhadap suatu garis atau kurva oleh suatu tranformasi (translasi, refleksi, dilatasi dan rotasi) dilakukan dengan menyatakan x dan y dengan x’ dan y’ sesuai dengan tranformasi yang digunakan. Kemudian disubstitusikan ke persamaan garis atau kurva yang diketahui. Hasilnya akan berupa persamaan yang menggunakan variabel x’ dan y’ sebagai tanda hasil tranformasinya.

Contoh.
Tentukan persamaan bayangan parabola y = 4x2, jika mendapat tranformasi yang berkaitan dengan matriks berikut. (■(1&0@0&-1)).
Jawab:
Jika (a,b) terletak pada parabola y = 4x2, maka berlaku b = 4a2. Jika (a’,b’) bayanga dari (a,b) maka:
[■(a'@b')]=[■(1&0@0&-1)][■(a@b)]
[■(a'@b')]=[■(a@-b)]  
atau       a = a’
      b = - b’
Jika kita substitusikan ke persamaan b = 4a2. Maka:
-b’ = 4(a’)2 atau b’ = - 4(a’)2.
Jadi, persamaan bayangannya dalah y = - 4x2.








Komposisi Tranformasi 
Pengertian komposisi tranformasi 
Komposisi tranformasi adalah tranformasi yang diperoleh dari gabungan dua tranformasi atau lebih. 
Penyelesaian komposisi transformasi bisa dengan dua cara yaitu yang pertama dengan cara pemetaan dilakukan langsung secara bertahap berturut-turut terhadap titik yang ditransformasikan dan cara kedua yaitu dengan matriks. 
Penyelesaian komposisi tranformasi dengan cara pemetaan.
Penyelesaian komposisi transformasi dengan cara pemetaan dilakukan langsung secara bertahap berturut-turut terhadap titik yang ditransformasikan. Misal titik A ditransformasikan pertama oleh T1 dilanjutkan oleh T2, bayangannya diperoleh dengan cara mencari bayangan A terhadap T1 terlebih dahulu, misalkan bayangannya adalah A', kemudian mencari bayangan A' oleh transformasi T2sehingga menghasilkan bayangan A". Titik A" ini merupakan bayangan dari titik A yang ditransformasikan oleh T1 dilanjutkan dengan transformasi T2. Dalam bentuk pemetaan ditulis seperti berikut ini.



Penyelesaian komposisi tranformasi dengan cara matrik.
Titik P (x, y) ditransformasikan oleh T1 dan kemudian dilanjutkan oleh T2, maka menghasilkan P" (x", y"). Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut :

P"=(T2 o T1)(P)

(■(x"@y"))=(■(e&f@g&h))(■(a&c@b&d))(■(x@y))

Dua translasi berurutan
Diketahui suatu titik mendapat translasi T1, kemudian dilanjutkan dengan translasi T2, makla dua translasi tersebut dapat dinyatakan dengan tranformasi tunggal dan di tulis dengan notasi “T2 ° T1”.

Titik P(x,y) mendapat tranformasi berurutan T1 = [■(a@b)]   dan T2 = [■(c@d)]  . 
Titik P(x,y) P’(x + a, y + b). 

Titik P’(x + a, y + b)  P”(x + a + c, y + b + d).
Bila diperhatikan T2 ° T1 yang memetakan titik P ke titik P”, maka pemetaan tersebuat dapat kita nyatakan sebagai berikut.

Titik P’(x + a, y + b)     P”(x +( a + c), y + (b + d)).
Jadi, rumus untuk komposisi tranformasi dua translasi berurutan “T2 ° T1” adalah:
T2 ° T1=[■(a&c@b&d)]



Contoh.
Tentukan bayangan titik (4,6) oleh translasi T1 = [■(7@3)]   dan dilanjutkan oleh translasi T2 = [■(3@4)].
Jawab:
T2 ° T1=[■(a&c@b&d)]
  =[■(7&3@3&4)]
 =[■(10@7)]

Maka: (4,6)       (4 + 10, 6 + 7) = ( 14, 13)
Jadi bayangan titik (4,6) oleh translasi T1, dilanjutkan T2 adalah (14,13).
















Tentukan bayangan dari persamaan x2+2y=4 oleh translasi T1=(■(3@4)) dilanjutkan translasi T2= (■(1@3)).
Jawab.
T2 ° T1=[■(a&c@b&d)]
  =[■(3&1@4&3)]
 =[■(4@7)]

x’ = x – 4 → x = x’ + 4……. (1)
y’ = y – 7 → y = y’ + 7……..(2)

Substitusikan ke persamaan x2+2y=4 
(x’+4)2 + 2 (y’+7) = 4
(x’+4)(x’+4)+2y’+14=4
x’2 + 8y’ + 16 +14 =4
x’2 + 8y’= - 26 

Jadi, bayangan dari persamaan x2+2y=4 adalah  x’2 + 8y’= - 26 


Tiga translasi berurutan
Untuk tiga translasi berurutan berlaku
(T1 o T 2 ) o T3 = T1 o ( T 2 o T 3 ) (asosiatif). Adapun rumus yang digunakan.
(T1 o T 2 ) o T3 = T1 o ( T 2 o T 3 )
=[■(a&c&e@b&d&f)]

Contoh.
Tentukan bayangan titik (2,3) oleh translasi T1 = [■(1@6)]  dilanjutkan oleh translasi T2 = [■(3@2)] dan T3 = [■(4@2)].
Jawab.
 T1 o ( T 2 o T 3 ) =[■(a&c&e@b&d&f)]
=[■(1&3&4@6&2&2)]
=[■(1&7@6&4)]
=[■(8@10)]


Maka: (2,3)       (2+8, 3+10) = ( 10, 13)
Jadi bayangan titik (2,3) oleh translasi T1, dilanjutkan T2 dan T3 adalah (10,13).

Dua refleksi terhadap dua garis sejajar
Titik P(x,y) pada gambar di samping direfleksikan oleh M1 terhadap garis h, kemudian dilanjutkan dengan refleksi M2 terhadap garis k yang sejajar dengan h. letak bayangannya dapat kita tentukan sebagai berikut.

Titik P’ merupakan bayangan titik P oleh M1, dan P” merupakan bayangan oleh P’ oleh M2, maka:
PA = P’A = a dan P’B = P”B = b
Sehingga PP” = 2a + 2b = 2 (a + b).
Mengingat (a + b) = ( k – h ) adalah jarak antara garis h dan k, maka jarak titik PP” sama dengan dua kali jarak h dan k.
Bayangan titik P(x,y) oleh refleksi terhadap dua garis x=h dan x=k yang saling sejajar serta berjarak d adalah (x + 2d, y ) dimana d = k – h.
Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bayangan titik P(x,y) oleh refleksi terhadap dua garis y=h dan y = k yang saling sejajar serta berjarak d. bayangan titik itu adalah (x, y +2d) dimana d = k- h.

Contoh.
Tentukan bayangan titik P(3,4) oleh refleksi terhadap garis x = 5 dan dilanjutkan terhadap garis x = -1.
Jawab:
P2 (x,y) → ( x + 2d , y)
    (3,4) → (3 + 2 ( -1 – 5 ) , 4 ) 
      = ( 3 + 2 (-6) , 4)
      = (3 – 12 , 4)
      = ( -9 , 4 )
P1 (x,y) → ( x + h , y)
(3,4) → (3 + 5 , 4)
= ( 8, 4)



Tentukan bayangan titik A ( -5, 7) oleh refleksi terhadap garis y = 3 dan dilanjutkan terhadap garis y = - 2.
Jawab:
A2 (x,y) → ( x  , y + 2d)
    (-5,7) → (-5 , 7 + 2 ( -2 -3)) 
      = ( -5, 7 + 2 (-5))
      = (-5, 7 -10)
      = ( -5 , -3)
A1 (x,y) → ( x , y + h)
(-5, 7) → (-5, 7 + 3)
= ( -5, 10)


BAB 3
PENUTUP

Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari makalah ini adalah sebagai berikut:
Komposisi invers adalah salah satu cara sederahana untuk mendapatkan koordinat bayangan hasil transformasi.
Komposisi tranformasi adalah tranformasi yang diperoleh dari gabungan dua tranformasi atau lebih.
Komposisi tranformasi bisa diselesaikan dengan dua cara yaitu pemetaan dan matrik.
Komposisi dua translasi berurutan menggunakan sifat komutatif dan rumus yang digunakan T2 ° T1=[■(a&c@b&d)].
Komposisi tiga translasi berurutan menggunakan sifat asosiatif dan rumus yang digunakan T1 o T 2 ) o T3 = T1 o ( T 2 o T 3 ) =[■(a&c&e@b&d&f)]

Komposisi dua refleksi terhadap dua garis sejajar, berlaku:
Bayangan titik P(x,y) oleh refleksi terhadap dua garis x=h dan x=k yang saling sejajar serta berjarak d adalah (x + 2d, y ) dimana d = k – h.
Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bayangan titik P(x,y) oleh refleksi terhadap dua garis y=h dan y = k yang saling sejajar serta berjarak d. bayangan titik itu adalah (x, y +2d) dimana d = k- h.

Saran
Dalam memahami pembelajaran geometri tranformasi kita harus jeli dan paham dulu pengertiannya, rumusnya baru contoh soalnya seperti apa dan jangan lupa kaitkan dalam aplikasi kehidupan sehari-sehari biar kita ingat selalu akan materi tersebut.
Dan hal yang utama adalah perbanyak latihan soal dan memperbanyak referensi bacaan.




DAFTAR PUSTAKA


https://elnicovengeance.wordpress.com/2013/01/19/komposisi-transformasi/
http://alewoh.com/komposisi-transformasi.php
K. Noormandiri. Matematika untuk SMA kelas XII Program Ilmu Alam.
  Jakarta: Erlangga, 2007.

bunga tunggal

MATEMATIKA EKONOMI

“BUNGA TUNGGAL”

Disusun Oleh:

Kelompok I

Ai Nurhasanah            20148300230

Siti Aminah                 20148300204

Sri Utami Masruroh    20148300201

Suwaryo                      20138300296

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

KUSUMA NEGARA JAKARTA

2016

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penyusun panjatkan kepada  Allah SWT, berkat limpahan rahmat, kemudahan, dan karunia-Nya, sehingga makalah Matematika Ekonomi yang berjudul tentang “BUNGA TUNGGAL” ini dapat penyusun selesaikan tepat pada waktunya tanpa menemui hambatan yang berarti.

Makalah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Ekonomi. Dalam tulisan ini berisi tentang pengertian bunga tunggal, bunga tunggal untuk tahuhan dan bulanan, cara menghitung bunga tunggal, persen di atas seratus, persen di bawah seratus, bunga tunggal eksask, bunga tunggal biasa dan diskonto serta contoh soal dari tiap bahasan.

Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih terdapat banyak kekurangan. Maka dari itu, penyusun minta kritik dan sarannya yang bersifat membangun untuk ke arah yang lebih baik lagi ke depannya.

Akhirnya, penyusun menyampaikan banyak terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu penyusunan tugas ini mohon maaf tidak bisa disebutkan satu persatu. Terutama penyusun sampai terimakasih banyak kepada dosen yang telah memeberikan tugas ini. Mudah-mudahan makalah ini bermanfaat untuk pembaca terutama untuk penyusun.

Jakarta,   23  Juli  2016

Penyusun

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR                     .............................................................. 2

DAFAR ISI                                       .............................................................. 3

BAB 1 PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang                              .............................................................. 4

B.     Rumusan Masalah                         .............................................................. 4

C.     Tujuan Penyusunan                       .............................................................. 4

BAB 2 PEMBAHASAN

A.    Bunga Tunggal                              .............................................................. 5

B.     Persen Di Atas Seratus                 .............................................................. 5

C.     Persen Di Bawah Seratus              .............................................................. 6

D.    Menghitung Bunga Tunggal untuk w Tahunan dan w Bulanan................. 7

E.     Bunga Tunggal Biasa dan Bunga Tunggal Eksak....................................... 9     

F.      Metode Perhitungan Bunga Tunggal.......................................................... 10

G.    Diskonto                                       .............................................................. 14

BAB 3 PENUTUP

A.    Kesimpulan                                   .............................................................. 17

B.     Saran                                             .............................................................. 18

DAFTAR PUSTAKA                      .............................................................. 19

BAB 1

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang tak bisa terpisahkan  dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya dalam bidang ekonomi kita tidak bisa lepas dari yang namanya perhitungan matematika. Misalnya yang berkaitan dengan bank atau investasi yaitu bunga.

Bunga merupakan uang tambahan yang diberikan oleh bank atas pinjaman atau tabungan yang kita lakukan. Bunga yang diberikan setiap bank berbeda-beda, maka kita harus jeli dan teliti saat akan meminjam uang ke sebuah bank supaya tidak menimbulkan kerugian kepada kita.

Maka dari itu, penulis membuat makalah yang berjudul “BUNGA TUNGGAL” untuk membahas dan mengetahui secara detail tentang bunga, cara perhitungan dan jenis-jenis bunga yang diberikan oleh bank.

B.     Rumusan Masalah

Adapun masalah yang akan kita kaji dalam makalah ini adalah sebagai berikut:

1.      Apa bunga tunggal?

2.      Apa bunga persen di atas seratus?

3.      Apa bunga persen di bawah seratus?

4.      Bagaimana cara menghitung bunga tunggal untuk w tahunan dan bulanan?

5.      Apa perbedaan bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa?

6.      Bagaimana mrtode perhitungan bunga tunggal?

7.      Apa diskonto?

           

C.    Tujuan Penyusunan

Adapun tujuan dari penyususnan makalah ini adalah untuk mengetahui:

1.      Bunga tunggal.

2.      Menghitung bunga tunggal untuk w tahunan dan bulanan.

3.      Persen di atas seratus.

4.      Persen di bawah seratus.

5.      Bunga tunggal eksak dan bunga tunggal biasa.

6.      Metode perhitungan bunga tunggal.

7.      Diskonto.

BAB 2

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Bunga Tunggal

Pengertian bunga secara umum adalah imbalan atau penggunaan sejumlah uang berdasarkan perjanjian pinjam – meminjam. Pengertian bunga menurut kamus besar bahasa indonesia, yaitu imbalan jasa untuk penggunaan uang atau modal yang dibayar pada waktu tertentu berdasarkan ketentuan atau kesepakatan.

Pengertian bunga tunggal adalah bunga yang dihitung berdasarkan modal awal atau pokok pinjaman dan dibayarkan diakhir pinjaman.

Contoh:

1.      Ira Wahyuni meminjam uang di sebuah bank sebesar Rp. 3.000.000,00 dengan suku bunga 2% pertahun. Berapakah jumlah bunga yang harus Ira Wahyuni bayarkan?

Penyelesaian:

Dik:     M         ; Rp. 3.000.000,00

            P          ; 2%

           

Dit:      I……..?

Jawab:            

                           = 2% x Rp 3.000.000,00

                           =  x Rp 3.000.000,00

                           = Rp 60.000,00

Jadi, jumlah bunga yang harus Ira Wahyuni bayarkan adalah Rp 60.000,00

B.     Persen Di Atas Seratus

Persen di atas seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Persen di atas seratus digunakan untuk menghitung bunga apabila kita meminjam uang ke bank atau pegadaian di atas sepuluh juta. Secara umum ditulis

 

Keterangan:

      I           : interent bunga

      P          : suku bunga

M         : modal

Contoh :

2.      Belman meminjam uang pada salah satu bank swasta untuk modal usaha AC sebesar Rp. 75.000.000,00, dengan suku bunga 6% pertahun. Hitunglah besar bungan di atas seratus.

Penyelesaian:

Dik:     M         ; Rp 75.000.000,00

            P          ; 6%

Dit ; I,,,?

Jawab  ;

 

Jadi besar bunga yang harus di bayar oleh Belman, dengan hitungan bunga diatas seratus adalah Rp. 4.245.283,018

C.    Persen Di bawah Seratus

Persen dibawah seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Persen di bawah seratus digunakan untuk menghitung bunga apabila kita meminjam uang ke bank atau pegadaian di bawah sepuluh juta Secara umum dapat di tulis

Keterangan:

      I           : interent bunga

      P          : suku bunga

M         : modal

Contoh.

3.      Wiwik meminjam uang pada salah satu bank sebesar Rp. 2.500.000,00, dengan bunga 8%. Hitunglah besar bunga di bawah seratus.

Penyelesaian:

Dik      M         ; Rp 2.500.000,00

            P          ; 8 %

Dit; I,,,?

Jawab  ;

217.391,304

Jadi besar bunga yang harus di bayar oleh Wiwik, dengan hitungan bunga dibawah seratus adalah Rp. 217.391,304

D.    Bunga Tunggal Untuk w Tahunan dan w Bulan

Ø  Bunga tunggal untuk tahunan

Bunga tunggal w tahunan digunakan apabila lamanya meminjam uang selama hitungan tahun. Misalnya 1 tahun, 2 tahun dan lain sebagainya. Secara umum rumusnya ditulis:

Keterangan :

I     = Interest bunga

M   = Modal pinjaman atau uang pokok

P    = Suku bunga

W  = Periode atau jangka waktu

Contoh :

4.      Puji Lestari meminjam uang di sebuah Bank Rp. 15.000.000,00 untuk modal dagang mie ayam, dengan suku bunga tunggal 5 % per tahun. Berapa uang yang harus dikembalikan Puji Lestari selama 2 tahun ?

Penyelesaian:

Dik      : M       = Rp. 15.000.000,00

              P        = 5%

              W      = 2 tahun

Dit       : M₁…..?

Jawab  :

Jadi, uang yang harus dikembalikan Puji Lestari selama 2 tahun adalah

M₁= Rp. 15.000.000,00 + Rp. 1.500.000,000

M₁= Rp. 16.500.000,00

Ø  Bunga tunggal untuk bulanan

Bunga tunggal w bulanan digunakan apabila lamanya pinjaman selama hitungan bulan. Misalnya 7 bulan, 13 bulan, 17 bulan dan lain sebagainya. Secara umum rumusnya ditulis:

  

Contoh.

5.      Jati Sutrisna menggadaikan BPKB motornya di Bank BRI untuk modal melamar Nurul Syarifah, dengan pinjaman uang uang sebesar Rp. 6.500.000,00. Dengan bunga 7% selama 15 bulan, berapakah besar bunga yang harus dibayar Jati Sutrisna atas pinjamannya itu?

Penyelesaian:

Dik      :           M         = Rp. 6.500.000,00

P          = 7%

W        = 15 bulan

Dit       : I…..?

Jawab  :

Jadi besar bunga yang harus dibayar Jati Sutrisna atas pinjamannya adalah Rp. 568.750,00

E.     Bunga Tunggal Biasa dan Bunga Tunggal Eksak

Bunga Tunggal Biasa adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan perhitungan bahwa satu tahun terdiri atas 360 hari.

Bunga Tunggal Eksak adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan perhitungan bahwa satu tahun terdiri atas 365 hari untuk tahun biasa dan satu tahun terdiri atas 366 hari untuk tahun kabisat (tahun yang habis dibagi oleh 4)

Ø  Untuk tahun biasa

Ø  Untuk tahun kabisat

Contoh:

6.      Tentukan besar bunga yang harus dibayar oleh Eka Oktaviani untuk membayar UAS dari uang pokok sebesar Rp.800.000,00 dengan jangka waktu pinjaman 20 hari dan besar bunga 3 %, hitunglah dalam: 

a.       Satu tahun 360 hari

b.      Satu tahun 365 hari

c.       Satu tahun 366 hari 

Penyelesaian:

Dik      : M       = Rp.800.000,00

              P        = 3 %

             W       = 20 hari

1 tahun  = 360 hari

1 tahun  = 365 hari

1 tahun  = 366 hari

Dit       : I…….?

Jawab  :

a.       Bunga tunggal biasa

Jadi, besar bunga yang harus Eka Oktaviani bayar dalam 1 tahun 360 hari adalah Rp. 1.333,333

b.      Bunga tunggal eksak (bukan kabisat)

Jadi, besar bunga yang harus Eka Oktaviani bayar dalam 1 tahun 365 hari adalah Rp. 1.315,068

c.       bunga tunggal eksak (kabisat)

Jadi, besar bunga yang harus Eka Oktaviani bayar dalam 1 tahun 366 hari adalah Rp. !.311,475

F.     Metode Perhitungan Bunga Tunggal

Ada beberapa metode yang digunakan untuk menghitung bunga tunggalantara lain sebagai berikut:

1.      Metode Pembagi Tetap

Metode ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah bunga dari beberapa modal yang dibungakan dengan tingkat suku bunga yang sama tetapi jangkan waktunya berbeda-beda.

Dari bentuk  , diperoleh:

Pembagi tetap 

Angka bunga =

Jadi, rumus untuk mencari bunga dapat dinyatakan sebagai berikut:

Angka bunga dapat ditentukan dengan cara berikut:

a.       Modal harus dibulatkan terlebih dahulu higga RP. 1,00

b.      Hasil kali dari modal dan waktu yang telah dibulatkan ke dalam hari, dibagi 100, kemudian dibulatkan (di bawah 0,5 dihapus). Sehingga angka bunga selalu merupakan bilangan bulat.

Contoh.

7.      Tentukan jumlah bunga dari ketiga modal pinajaman berikut Rp. 2.000.000,00, Rp. 150.000,00 dan Rp. 500.000,00 dengan suku bunga 12% pertahun. Yang masing-masing jangka waktunya 120 hari, 20 hari dan 50 hari.

Penyelesaian:

Karena b = 12 % maka P=12

Pembagi tetap =

Modal (M)	Hari (w)	Angka bunga
2.000.000,00	120	2.400.000,00
150.000,00	20	30.000,00
500.000,00	50	250.000,00
		2.680.000,00

Jadi, besar bunga yang harus dibayarkan adalah:

= Rp. 89.333,333

8.      Hitunglah bunga dari modal sebesar Rp. 2.500.598,67 yang diperbungakan dengan suku bunga 5% selama 165 hari.

Penyelesaian:

Dik:           M         = Rp 2.500.598,67 dibulatkan menjadi

M         = Rp. 2.500.599,00

                  P          = 5%

                  W        = 165 hari

Dit:            B…..?

Jawab:

Angka bunga =

Pembagi tetap =

Bunga =

Jadi, bunga dari modal tersebut adalah Rp. 57.305,39

2.      Metode Bagian Persen Sebanding

Jika persentase bunga bukan pembagi hari 360, maka kita akan mendapatkan angkapembagi tetap yang tidak bulat. Untuk menghindar hal tersebut kita dapat menghitung besarnya bunga dengan menggunakan metode bagian persen sebanding.

Dengan metode ini mula-mula dihitung besarnya bunga berdasarkan persentase terdekat yang merupakan pembagi dari 360. Kemudian kelebihan atau kekurangan dari bunga yang dimaksud dihitung dengan menggunakan persen yang sebanding.

Contoh.

9.      Hitunglah besar bunga dari modal Rp.2.000.000,00 yang dibungakan selama 70 hari dengan suku bunga 7 % setahun.

Penyelesaian:

Dik:           M         = Rp.2.000.000,00

                  P          = 7%

                  w         = 70 hari

Dit:            I……?

Jawab:

Angka bunga =        

Karena P=7 bukan merupakan pembagi dari 360, maka kita cari biangan lain yang merupakan pembagi dari 360, misalnya P=6, maka:

Pembagi tetap =

Bunga 6% =

Bunga 1% =

Bunga 7 % = Rp. 23.333,33 + Rp. 3.888,89 = Rp. 27.222,22

Jadi, besar bunganya adalah Rp. 27.222,22

3.      Metode Bagian Persen Seukuran

Metode ini disebut juga Metode Inggris. Metode ini menggunakan ketentuan sebagai berikut:

a.       Bunga 5% sebagai dasar

b.      1 tahun = 365 hari

Maka perhitungan dituliskan sebagai berikut:

Jika dihitung,  mendekati nilai

Sehingga besarnya bunga dapat dinyatakan sebagai berikut:

Untuk perhitungan suku bunga yang lebih atau kurang dari 5%, kekurangan atau kelebihan tersebut dihitung dengan menggunakan metode bagian persen sebanding.

Contoh.

10.  Hitunglah bunga dari modal Rp.2.500.598,67 yang disimpan pada sebuah bank swasta dengan bunga 5% selama 165 hari.

Penyelesaian:

Dik:           M         = Rp. 2.5000.598,67 dibulatkan menjadi

M         = Rp. 2.500.599,00

                  P          = 5 %

                  W        = 165 hari

Dit:            B…..?

Jawab:

Angka bunga

Bunga

Jadi, besar bunga dari modal itu adalah Rp. 56.526

G.    Diskonto

Diskonto merupakan suku bunga yang dibayarkan di awal pinjaman, sehingga besarnya uang yang diterima oleh peminjam merupakan selisih antara besarnya pinjaman dengan besarnya bunga. Sedangkan besarnya uang yang harus dikembalikan harus sesuai dengan besarnya pinjaman berdasarkan perjanjian adapun rumus yang digunakan adalah:

1.        

Atau

2.     

Keterangan:

      D         = Diskonto

      P          = Suku Bunga

      NT       = Nilai Tunai

NA      = NIlai Akhir

t           = jangka waktu

n          = 1 tahun, 12 bulan dan 360 hari

Contoh:

11.  Untuk acara resepsi pernikahannya, Asep meminjam uang di Bank sebesar Rp. 20.000.000,00 dengan perjanjian suku bunga diskonto 5% pertahun dalam jangka waktu 8 bulan. Ahitunglah nilai hutang tersebut!

Penyelesaian :

Dik:     NA      = Rp. 20.000.000,00

P          = 5 %

t           = 8 bulan

n          = 12

Dit:      NT……… ?

Jawab :

 

Jadi, Nilai tunai yang diterima Asep adalah:

12.  Jejen meminjam uang di bank dengan suku bunga diskonto 10 % setahun. Jika yang diterima oleh Jejen sebesar Rp. 12.000.000,00. Berapakan uang pinjaman yang harus ia kembalikan?

Penyelesaian:

Dik:     NT       = Rp. 12.000.000,00

            P          = 10 %

Dit:      NA….?

Jawab:

Jadi, uang yang harus dikembalikan oleh Jejen adalah:

 

 

 

BAB 3

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Adapun kesimpulan dari makalah ini adalah sebagai berikut:

1.      Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung berdasarkan modal awal atau pokok pinjaman.

2.      Persen di atas seratus ( digunakan apabila pinjaman di atas sepuluh juta)

3.      Persen di bawah seratus (digunakan apabila pinjaman di bawah sepuluh juta)

4.      Bunga Tunggal Untuk w Tahunan dan Bulan

Ø  Bunga tunggal untuk tahunan

Ø  Bunga tunggal untuk bulanan

5.      Bunga tunggal biasa adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan perhitungan bahwa satu tahun terdiri atas 360 hari. Sedangkan bunga tunggal eksak adalah bunga tunggal yang dihitung berdasarkan perhitungan bahwa satu tahun terdiri atas 365 hari untuk tahun biasa dan satu tahun terdiri atas 366 hari untuk tahun kabisat (tahun yang habis dibagi oleh 4)

6.      Cara menghitung bunga tunggal menggunakan tiga metode yaitu: metode pembagi tetap, metode bagian persen sebanding dan metode bagian persen seukuran.

7.      Diskonto adalah bunga yang dibayar di awal pinjaman sesuai dengan perjanjian.

B.     Saran

Untuk memahami mata kuliah Matematika Ekonomi harus tahu dulu pengertiannya, lalu kegunaannya serta rumusnya baru ke contoh soal. Serta harus diperbanyak latihhan soal dan banyak diskusi dengan teman untuk menambah wawasan. Jangan lupa juga untuk membaca dari buku sumber jangan hanya mengandalnya dari internet semata.

DAFTAR PUSTAKA

Hayati. Teti. Bunga Tunggal dan Diskonto. 2012.

Arry. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen. Jakarta: Buku Sekolah Elektronik, 2008.